Question

3．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角60°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，若λ+$\sqrt{3}$μ=2，則|$\overrightarrow{OP}$|的最小值是2$\sqrt{3}$，此時(shí)$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$夾角大小為30°．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos60°=2$\sqrt{3}$，對(duì)向量OP取模，結(jié)合向量的平方即為模的平方，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，可得最小值，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角60°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{3}$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos60°=2×2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
若λ+$\sqrt{3}$μ=2，可得λ=2-$\sqrt{3}$μ，
則|$\overrightarrow{OP}$|=|λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$
=$\sqrt{4{λ}^{2}+12{μ}^{2}+4\sqrt{3}λμ}$=$\sqrt{4（λ+\sqrt{3}μ）^{2}-4\sqrt{3}λμ}$
=$\sqrt{16-4\sqrt{3}（2-\sqrt{3}μ）μ}$=$\sqrt{12（μ-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+12}$≥2$\sqrt{3}$，
當(dāng)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，λ=1時(shí)，|$\overrightarrow{OP}$|的最小值為2$\sqrt{3}$；
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2$\sqrt{3}$=6，
則cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0°≤＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞≤180°，
可得＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$＞=30°．
故答案為：2$\sqrt{3}$，30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，以及夾角公式的運(yùn)用，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．