Question

14．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知$\frac{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=$\sqrt{3}$a，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將已知通分整理可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，180°），即可解得A的值．
（2）由正弦定理有：sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA=$\frac{3}{2}$，可求sinC=$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB，sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+30°）=$\frac{3}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$=1．
∴通分，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，180°），
∴解得：A=60°．
（2）△ABC為直角三角形．
因?yàn)閎+c=$\sqrt{3}$a，由正弦定理有：sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$×sin60°=$\frac{3}{2}$，
因?yàn)锳+B+C=180°，C=180°-B-A，
那么，sinC=sin（180°-B-A ）=sin（B+A）=sin（B+60°）=$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB，
所以：sinB+sinC=sinB+$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$×sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=$\sqrt{3}$sin（B+30°）=$\frac{3}{2}$，
所以sin（B+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
B=30°或B=90°，
當(dāng)B=30°時(shí)，C=90°．
所以△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．