Question

19．已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1．
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
（2）若a=1時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]，求m，n的值．
（3）記h（a）為y=f（x）在區(qū)間[-4，4]的最小值，求出y=h（a）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1的圖象是開(kāi)口朝下，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線；
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則a≤1；
（2）若a=1時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]，則m，n為方程f（x）=-x²+2x+1=2x，即-x²+1=0的兩根，解得m，n的值．
（3）分段討論，y=f（x）在區(qū)間[-4，4]的最小值h（a）的表達(dá)式，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1的圖象是開(kāi)口朝下，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線；
（1）若y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則a≤1；
（2）若a=1時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]，
由函數(shù)在x=1時(shí)，取最大值2，
故2m＜2n≤2，
即m＜n≤1，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，
即$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m\\ f（n）=2n\end{array}\right.$，
即m，n為方程f（x）=-x²+2x+1=2x，即-x²+1=0的兩根，
解得：m=-1，n=1，
（3）當(dāng)a≤-4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，4]為減函數(shù)，
此時(shí)h（a）=f（4）=8a-15；
當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，a]為增函數(shù)，[a，4]為減函數(shù)，
此時(shí)h（a）=f（a）=a²+1；
當(dāng)a≥4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，4]為增函數(shù)，
此時(shí)h（a）=f（-4）=-8a-15；
綜上所述：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}8a-15，a≤-4\\{a}^{2}+1，-4＜a＜4\\-8a-15，a≥4\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．