Question

12．有下列四個(gè)命題：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最大值是9；
p₃：直線ax+y+2a-1=0過(guò)定點(diǎn)（0，-l）；
p₄：由曲線y=x²，y=x³圍成的封閉圖形面積為$\frac{1}{12}$
其中真命題是（　　）

• A． p₁，p₄
• B． p₁p₂
• C． p₂，p₄
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 p₁：取x=y=0，即可判斷出正誤；
p₂：利用基本不等式的性質(zhì)得出最小值，即可判斷出正誤；
p₃：直線ax+y+2a-1=0，化為a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解出即可判斷出正誤；
p₄：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y={x}^{3}}\end{array}\right.$，解得（0，0），（1，1），由曲線y=x²，y=x³圍成的封閉圖形面積S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-{x}^{3}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{4}{x}^{4}）{|}_{0}^{1}$，即可判斷出正誤．

解答 解：p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny，正確，例如：取x=y=0；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}）$=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)，因此其最小值是9，故不正確；
p₃：直線ax+y+2a-1=0，化為a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1，因此直線過(guò)定點(diǎn)（-2，l），故不正確；
p₄：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y={x}^{3}}\end{array}\right.$，解得（0，0），（1，1），由曲線y=x²，y=x³圍成的封閉圖形面積S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-{x}^{3}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{4}{x}^{4}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{12}$，正確．
綜上可得：只有p₁，p₄正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、基本不等式的性質(zhì)、直線系的應(yīng)用、微積分基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．