Question

19．函數(shù)f（x）=sinxsin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{2}$cos²x的值域?yàn)閇$\frac{6-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{6+\sqrt{17}}{4}$]．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\frac{1}{4}$[$\sqrt{17}$cos（2x+θ）+6）]，由三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得：
f（x）=sinxsin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{2}$cos²x
=sinx（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+$\frac{5}{2}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{5}{2}$cos²x
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{5}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{4}$（4cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+6）
=$\frac{1}{4}$[$\sqrt{17}$cos（2x+θ）+6）]，其中tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵cos（2x+θ）∈[-1，1]，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{6-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{6+\sqrt{17}}{4}$]
故答案為：[$\frac{6-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{6+\sqrt{17}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及和差角的三角函數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．