Question

3．已知直線2x-2y-1=0與拋物線C：x²=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）過點M（0，1）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線分別為l₁，l₂，直線l₁，l₂交于點P，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）拋物線C：x²=2py的方程可可化為：y=$\frac{1}{2p}$x²，則y′=$\frac{x}{p}$，根據(jù)切線斜率為1，求出切點坐標為（p，p-$\frac{1}{2}$），代入拋物線方程可得p的值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立拋物線方程可得x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2，求出兩條切線的方程，進而求出交點P的坐標，進而可得點P的軌跡方程．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py的方程可可化為：y=$\frac{1}{2p}$x²，
則y′=$\frac{x}{p}$，
∵直線2x-2y-1=0與拋物線C：x²=2py（p＞0）相切，直線2x-2y-1=0的斜率為1，
故切點坐標為（p，p-$\frac{1}{2}$），
代入拋物線C：x²=2py得：p²=2p²-p，
解得：p=1；
（2）顯然直線l的斜率存在，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2kx-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2．
∵拋物線C的方程為y=$\frac{1}{2}$x²，
求導(dǎo)得y′=x，
∴過拋物線C上A、B兩點的切線方程分別是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），y-$\frac{1}{2}$x₂²=x₂（x-x₂），
即 y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
解得兩條切線l₁、l₂的交點P的坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$x₁x₂），
即P（k，-1），
故點P的軌跡方程為直線p=-1．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單方程，導(dǎo)數(shù)法求曲線的切線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線的交點坐標，軌跡方程，難度中檔．