Question

15．已知函數(shù)f（x）=2${\;}^{{{（{a-x}）}^k}}}$（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（　�。�

• A． 若k=1，則|a-1|＜|a-2|
• B． 若k=1，則|a-1|＞|a-2|
• C． 若k=2，則|a-1|＜|a-2|
• D． 若k=2，則|a-1|＞|a-2|

Answer 1

分析 分析選項知只需討論k=1和k=2兩種情況，①當(dāng)k=1時，f（x）在R上單調(diào)遞減，②當(dāng)k=2時，f（x）在（-∞，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，再根據(jù)題中條件，確定|a-1|與|a-2|的大小關(guān)系．

解答 解：分析各選項，只需討論k=1和k=2兩種情況，
①當(dāng)k=1時，f（x）=2^a-x，在R上單調(diào)遞減，
所以，必有f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），
這兩個式子對任意的實數(shù)a都成立，
因此，A選項和B選項都不能成立；
②當(dāng)k=2時，f（x）=${2}^{（x-a）^2}$，
f（x）在（-∞，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱，
又因為f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），
結(jié)合函數(shù)圖象可知，對稱軸x=a＞$\frac{5}{2}$，
因此，|a-1|＞|a-2|．
故答案為：D．

點評 本題主要考查了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和圖象的對稱性，以及函數(shù)值大小的比較，屬于中檔題．