Question

9．已知函數(shù)f（x）=-x²+|x-a|．（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)最大值．
（2）當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x≥1時，f（x）=-x²+x-1，當(dāng)x＜1時，f（x）=-x²-x+1．利用單調(diào)性分別求出f（x）在每一段上的最大值取較大者即為答案．
（2）分別討論f（x）在每段上單調(diào)性即可

解答 解：（1）①當(dāng)x≥1時，f（x）=-x²+x-1，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
f_max（x）=f（1）=-1．
②當(dāng)x＜1時，f（x）=-x²-x+1，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上為增函數(shù)，在[-$\frac{1}{2}$，1）上為減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$．
綜上所述：當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）最大值為$\frac{5}{4}$．
（2））①當(dāng)x≥a時，f（x）=-x²+x-a，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
（i）當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)；
（ii）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在[a，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)．
②當(dāng)x＜a時，f（x）=-x²-x+a，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，a）上為減函數(shù)．
綜上所述：a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)；
0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，a）上為減函數(shù)，在[a，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，要注意區(qū)間與對稱軸的關(guān)系．