Question

【題目】已知函數(shù).

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）見(jiàn)解析

【解析】

（I），討論k,確定的正負(fù)即可求其單調(diào)性；（II）由（I）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，得，且，整理，證明 ，即可得解

（I）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，在上恒成立，

則在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，

令，解得 ，

令，解得或，令，解得，

在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（II）由（I）得，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，且，

則 .

下面先證明：設(shè)，則，

易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

， ，即.

，

又由（I）得在區(qū)間上單調(diào)遞減，.