Question

11．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中側(cè)棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為3，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面積為（　�。�

• A． 16π
• B． $2\sqrt{3}$
• C． π
• D． 32π

Answer 1

分析 根據(jù)棱柱的體積公式求得棱柱的側(cè)棱長，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心為上、下底面直角三角形斜邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)O，從而求得外接球的半徑R，代入球的表面積公式計(jì)算．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中側(cè)棱垂直于底面，設(shè)側(cè)棱長為a，
又三棱柱的底面為直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴三棱柱的體積V=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×a=3，
∴H=2$\sqrt{3}$，
△ABC的外接圓半徑為$\frac{1}{2}$AB=1，
三棱柱的外接球的球心為上、下底面直角三角形斜邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)O，如圖：
∴外接球的半徑R=2，
∴外接球的表面積S=4π×2²=16π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求三棱柱的外接球的表面積，利用三棱柱的結(jié)構(gòu)特征求得外接球的半徑是關(guān)鍵．