Question

12．（1）若復(fù)數(shù)z₁=a+i，z₂=1-i（i為虛數(shù)單位），且z₁-z₂為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+i）z=2-i，求|z+i|，并求出復(fù)數(shù)$\frac{1+i}{z}$的虛部．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)z₁，z₂，求出z₁-z₂，且z₁-z₂為純虛數(shù)，得到實(shí)部為0，虛部不為0，即可求出a的值．
（2）由（1+i）z=2-i，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求出z，則|z+i|可求，把z代入$\frac{1+i}{z}$，然后化簡(jiǎn)即可求出復(fù)數(shù)$\frac{1+i}{z}$的虛部．

解答 解：（1）由復(fù)數(shù)z₁=a+i，z₂=1-i，
則z₁-z₂=a+i-（1-i）=a-1+2i．
∵z₁-z₂為純虛數(shù)，
∴a-1=0．則a=1；
（2）由（1+i）z=2-i，
得$z=\frac{2-i}{1+i}=\frac{（2-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$．
則|z+i|=$|\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i+i|$=$|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|=\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\frac{1+i}{z}$=$\frac{1+i}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i}=\frac{2（1+i）（1+3i）}{（1-3i）（1+3i）}=-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i$，
∴復(fù)數(shù)$\frac{1+i}{z}$的虛部為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．