Question

20．7個(gè)人到7個(gè)地方去旅游，一人一個(gè)地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少種旅游方案？

Answer 1

分析 用間接法，先求不滿足要求的方案數(shù)，分四類(lèi)，（1）若甲、乙、丙、丁4人分別去A，B，C，D，而其余的人不限，（2）若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能去的地方旅游，（3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人去各自不能去的地方旅游，（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，問(wèn)題得以解決．

解答 解：用間接法，先求不滿足要求的方案數(shù)．
（1）若甲、乙、丙、丁4人分別去A，B，C，D，而其余的人不限，選法有${A}_{3}^{3}$=6種．
（2）若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能去的地方旅游，有${C}_{4}^{3}$ 種，而4人中剩下1人去的地方是${C}_{3}^{1}$ 種，其余的人有${A}_{3}^{3}$ 種，所以共有=72${C}_{4}^{3}•{C}_{3}^{1}•{A}_{3}^{3}$=72種．                                                                            
（3）若甲、乙、丙、丁4人中有2人去各自不能去的地方旅游，有${C}_{4}^{2}$ 種，余下的5個(gè)人分赴5個(gè)不同的地方的方案有${A}_{5}^{5}$ 種，但是其中又包括了有限制條件的四人中的兩人（不妨設(shè)甲、乙兩人）同時(shí)去各自不能去的地方共${A}_{3}^{3}$ 種，和這兩人中有一人去了自己不能去的地方有2${A}_{3}^{1}•{A}_{3}^{3}$ 種，所以共有${C}_{4}^{2}（{A}_{5}^{5}-{A}_{3}^{3}-2{A}_{3}^{1}•{A}_{3}^{3}）$=468種．
（4）若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有${C}_{4}^{1}$ 種方案，而余下的六個(gè)人的旅游方案仍與（3）想法一致，共有
${C}_{4}^{1}$[${A}_{6}^{6}$-A${\;}_{3}^{3}$-${C}_{3}^{2}$（${A}_{4}^{4}$-${A}_{3}^{3}$）-${C}_{3}^{1}$（${A}_{5}^{5}$-${A}_{3}^{3}$-2${C}_{3}^{1}$${A}_{3}^{3}$ ）]=1704種．
所以滿足以上情況的不同旅游方案共有${A}_{7}^{7}$-（6+72+468+1704）=2790種

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分步和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，以及利用間接關(guān)鍵是對(duì)不滿足要求的方案數(shù)分四類(lèi)，屬于難題．