Question

9．設(shè)n∈N^*，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n+1=S_n+a_n+2，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$，可得b_n=（2n-1）2ⁿ．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+1=S_n+a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，
∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$，
∴b_n=（2n-1）$（\sqrt{2}）^{2n}$=（2n-1）2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$2+2×\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．