Question

3．在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）求證：BB₁⊥AC．
（2）連結AC，BD，設交點O，連結B₁O．設AB=2，D₁D=2，求三棱錐B₁-ABO外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）底面平行四邊形ABCD中，AB=AD，可得四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC，因此AC⊥平面BDD₁，即可證明．
（2）證明三棱錐B₁-ABO的三條側(cè)棱互相垂直，2R=$\sqrt{3+4+1}$=2$\sqrt{2}$，即可求三棱錐B₁-ABO外接球的體積．

解答 （1）證明：底面平行四邊形ABCD中，連接AC，BD，設AC∩BD=O．
∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱DD₁與BB₁延長后交于一點，
∴BB₁?平面BDD₁，∴AC⊥BB₁．即BB₁⊥AC；
（2）解：∵AB=2A₁B₁，∴BD=2D₁B₁，
∵BD=2OD，
∴OD=D₁B₁，
∵OD∥D₁B₁，
∴四邊形B₁D₁DO是平行四邊形，
∴D₁D∥B₁O，
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴B₁O⊥平面ABCD，
∵AB=AD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO⊥OB，
∴三棱錐B₁-ABO的三條側(cè)棱互相垂直，
∴2R=$\sqrt{3+4+1}$=2$\sqrt{2}$，
∴V=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

點評 本題考查了證明線面垂直、長方體外接球的體積計算公式、平行四邊形與菱形的性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．