Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，$\frac{2sinA}{a}$=$\frac{tanC}{c}$，且sin（A-B）+siC=2sin2B，則$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$或2．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可解得：cosC=$\frac{1}{2}$，結合范圍C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，化簡已知等式可得sinAcosB=2sinBcosB①，分情況討論即可得解．

解答 解：∵$\frac{2sinA}{a}$=$\frac{tanC}{c}$=$\frac{sinC}{ccosC}$，
∴由正弦定理可得：a=2RsinA，c=2RsinC，即可解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∵sinC+sin（A-B）=sin（B+A）+sin（A-B）=2sin2B，
∴sinAcosB=2sinBcosB①，
∴當cosB=0時，B=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，可得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$；
當cosB≠0時，由①可得：$\frac{sinA}{sinB}$=2．
故答案為：$\frac{1}{2}$或2．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和于差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關系式的應用，考查了分類討論思想，屬于中檔題．