Question

11．已知函數(shù)$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）當x∈[0，π]時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)g（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長為原來的4倍，向下平移兩個單位后，得到f（x）的圖象，求f（x）的最大值，及取得最大值時x的集合；
（3）若a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，對定義域內(nèi)任意x，有f（x）≤f（A），若a=$\sqrt{3}$．求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積運算，求出g（x）的解析式，再求g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換，即可得出f（x）的解析式，從而求出f（x）的最大值以及對應x的集合；
（3）根據(jù)f（x）≤f（A）得出f（A）為f（x）為最大值，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$和余弦定理、基本不等式即可求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），
∴g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1×（-$\frac{3}{2}$）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2；
當x∈[0，π]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{3}$，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{6}$；
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]；
（2）將函數(shù)g（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+2=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的圖象，
再橫坐標伸長為原來的2倍，得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）+2的圖象，
縱坐標伸長為原來的4倍，得y=4sin（x+$\frac{π}{6}$）+2的圖象，
向下平移兩個單位，得y=4sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
即f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）；
∴f（x）的最大值為4，且取最大值時x的集合為{x|x=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}；
（3））∵?x∈R，有f（x）≤f（A），
∴f（A）為f（x）為最大值，
∴f（A）=4即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1；
又0＜A＜π，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$bc，
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=$\sqrt{3}$，
∴3=b²+c²-bc≥bc（當b=c時取等號），
∴bc≤3，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值$\frac{3}{2}$，此時b=c=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應用，余弦定理及向量的數(shù)量積的應用問題，是綜合性題目．