Question

6．觀察下列等式
（1+x+x²）¹=1+x+x²，
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴，
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶，
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸，
…
由以上等式推測對于n∈N^*，若（1+x+x²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，則a₂=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是歸納推理，我們可以根據(jù)已知條件中的等式，分析等式兩邊的系數(shù)及指數(shù)部分與式子編號之間的關(guān)系，易得等式右邊展開式中的第三項分別為：1，3，6，10，…，歸納后即可推斷出a₂的等式．

解答 解：由已知中的式了，我們觀察后分析：
等式右邊展開式中的第三項分別為：1，3，6，10，…，
即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…
根據(jù)已知可以推斷：
第n（n∈N^*）個等式中a₂為：1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．