Question

8．在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC，$A（6，0），C（1，\sqrt{3}）$，點M滿足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，點P在線段BC上運動（包括端點），如圖．
（Ⅰ）求∠OCM的余弦值；
（Ⅱ）是都存在實數(shù)λ，使$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知點的坐標求出向量的坐標，然后利用數(shù)量積求夾角公式得答案；
（Ⅱ）設出P的坐標$P（t，\sqrt{3}）$，由$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，可得其數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為λ關于t的函數(shù)式求解．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\overrightarrow{OA}=（6，0），\overrightarrow{OC}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=（3，0）$，
$\overrightarrow{CM}=（2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{CO}=（-1，-\sqrt{3}）$，
故$cos∠OCM=cos＜\overrightarrow{CO}，\overrightarrow{CM}＞$=$\frac{\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{CO}||\overrightarrow{CM}|}=\frac{\sqrt{7}}{14}$；
（Ⅱ）設$P（t，\sqrt{3}）$，其中1≤t≤5，
$λ\overrightarrow{OP}=（λt，\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OP}=（6-λt，-\sqrt{3}λ）$，$\overrightarrow{CM}=（2，-\sqrt{3}）$，
若$（{\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}}）⊥\overrightarrow{CM}$，則$（\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}）•\overrightarrow{CM}=0$，即12-2λt+3λ=0，
可得（2t-3）λ=12．
若t=$\frac{3}{2}$，則λ不存在；
若t$≠\frac{3}{2}$，則$λ=\frac{12}{2t-3}$，
∵t∈[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}，5$]，
∴λ∈（-∞，-12]∪[$\frac{12}{7}，+∞$）．
∴實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-12]∪[$\frac{12}{7}，+∞$）．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積運算，考查了由數(shù)量積求斜率的夾角，訓練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．