Question

2．已知全集U=R，集合A={x|x²-2ax-3a²＜0}，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}．
（1）當a=12時，求（∁_UB）∩A；
（2）命題P：x∈A，命題q：x∈B，若q是P的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先得到A={x|（x-3a）（x+a）＜0}，B={x|[x-（a+2）]（x+a）＜0}，從而a=12時，可以求出A，B，然后進行補集、交集的運算即可；
（2）可根據(jù)條件得出A⊆B，這樣可討論a：分a＞0，a=0，-1＜a＜0，a=-1，以及a＜-1這幾種情況，從而求出A，B，而根據(jù)A⊆B便可建立關(guān)于a的不等式，解不等式便可求出實數(shù)a的取值范圍，并由題意知A，B都不是空集．

解答 解：（1）A={x|（x-3a）（x+a）＜0}，B={x|[x-（a+2）]（x+a）＜0}；
∴a=12時，A=（-12，36），B=（-12，14）；
∴∁_UB=（-∞，-12]∪[14，+∞）；
∴（∁_UB）∩A=[14，36）；
（2）根據(jù)條件知，若x∈A，則x∈B；
∴A⊆B；
①若a＞0，則A=（-a，3a），B=（-a，a+2）；
∵A⊆B；
∴3a≤a+2；
∴a≤1；
即0＜a≤1；
②若a=0，A=∅，而由x∈A知A非空，∴這種情況不存在；
③若-1＜a＜0，則A=（3a，-a），B=（-a，a+2）；
顯然不滿足A⊆B，即這種情況不存在；
④若a=-1，則B=∅，而B≠∅，∴這種情況不存在；
⑤若a＜-1，則A=（3a，-a），B=（a+2，-a）；
∵A⊆B；
∴3a≥a+2；
∴a≥1，不滿足a＜-1，∴這種情況不存在；
綜上得實數(shù)a的取值范圍為（0，1]．

點評 考查一元二次不等式的解法，以及補集、交集的運算，必要條件的概念，子集的定義，而對a的討論要全面．