Question

8．在正四面體ABCD中，有如下四個(gè)命題：①AB⊥CD；②該四面體外接球的半徑與內(nèi)切球半徑之比為2：1；③分別取AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H并順次連結(jié)所得四邊形是正方形；④三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線段交于一點(diǎn)并被該點(diǎn)平分．則其中為真命題的序號(hào)為①③④．（填上你認(rèn)為是真命題的所有序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①利用正四面體的定義和三垂線定理判斷正誤即可；
②設(shè)正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為a，其外接球的半徑為R，內(nèi)切切的半徑為r，由正四面體放到正方體中，正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，以及通過(guò)體積分割，運(yùn)用棱錐的體積公式可得內(nèi)切球的條件，求出結(jié)果判斷正誤即可；
③由中位線定理和正四面體的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直，即可判斷；
④利用③的結(jié)論和正方形的對(duì)角線垂直平分，判斷正誤即可．

解答 解：對(duì)于①，由正四面體的定義可得，A在底面BCD的射影為底面的中心，由三垂線定理可得AB⊥CD，
所以①正確；
對(duì)于②，設(shè)正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為a，其外接球的半徑為R，內(nèi)切切的半徑為r，則正四面體的邊長(zhǎng)可看成是正方體的面對(duì)角線，外接球的直徑即為體對(duì)角線的長(zhǎng)，即有2R=$\sqrt{3}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a；由內(nèi)切球的球心與正四面體的表面構(gòu)成四個(gè)三棱錐，由體積分割可得$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=4•$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•r，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，即有R：r=3：1，
所以②不正確；
對(duì)于③，由中位線定理可得EF∥AC，EF=AC，且GH∥AC，GH=AC，即有四邊形EFGH為平行四邊形，又由正四面體的性質(zhì)可得AC⊥BD，即有四邊形EFGH為正方形，所以③正確；
對(duì)于④，由③可得正方形EFGH對(duì)角線交于一點(diǎn)且平分，同理對(duì)棱AC，BD和對(duì)棱AB，CD的中點(diǎn)連線也互相平分，
則三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線段交于一點(diǎn)并被該點(diǎn)平分，所以④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的性質(zhì)和內(nèi)切球與外接球的半徑的關(guān)系，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查推理和判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．