13.設正整數(shù)數(shù)列{an}滿足a2=4,且對?n∈N*有:an(2an+1+1)<n(n+1)(an+an+1)<an+1(2an+1)
(1)求a1,a3;
(2)猜想{an}的通項公式,并證明你的結論.

分析 (1)由條件可令n=1,2,代入,化簡整理,結合an為正整數(shù),計算即可得到所求;
(2)猜想:an=n2(n∈N*).運用數(shù)學歸納法證明,注意由n=k命題成立,證明n=k+1也成立,運用解不等式,化簡整理可得$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•(k+1)2<ak+1<(k+1)2+$\frac{1}{k-1}$,即可得證.

解答 解:(1)對?n∈N*有:an(2an+1+1)<n(n+1)(an+an+1)<an+1(2an+1),
當n=1時,a1(2a2+1)<2(a1+a2)<a2(2a1+1),
由a2=4,可得9a1<2(a1+4)<4(2a1+1),
即有$\frac{2}{3}$<a1<$\frac{8}{7}$,可得a1=1;
同理可得,當n=2時,有8<a3<10,
可得a3=9;
(2)猜想:an=n2(n∈N*).
下面用數(shù)學歸納法證明:
當n=1時,由(1)可得a1=1成立;
假設n=k(k∈N*),有ak=k2
當n=k+1時,由ak(2ak+1+1)<k(k+1)(ak+ak+1)<ak+1(2ak+1),
即2k2ak+1+k2<k(k+1)(k2+ak+1)<ak+1(2k2+1),
當k=1時,上式顯然成立;
則k>1時,可得$\frac{{k}^{2}(k+1)}{{k}^{2}-k+1}$<ak+1<$\frac{k({k}^{2}+k-1)}{k-1}$,
即有$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•(k+1)2<ak+1<(k+1)2+$\frac{1}{k-1}$,
由0<$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$<1,$\frac{1}{k-1}$>0,
可得ak+1=(k+1)2,
則n=k+1時,ak+1=(k+1)2也成立.
綜上可得,an=n2對?n∈N*都成立.

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法,注意運用猜想和數(shù)學歸納法證明,考查化簡整理和推理能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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