Question

13．設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₂=4，且對(duì)?n∈N^*有：a_n（2a_n+1+1）＜n（n+1）（a_n+a_n+1）＜a_n+1（2a_n+1）
（1）求a₁，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由條件可令n=1，2，代入，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合a_n為正整數(shù)，計(jì)算即可得到所求；
（2）猜想：a_n=n²（n∈N^*）．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意由n=k命題成立，證明n=k+1也成立，運(yùn)用解不等式，化簡(jiǎn)整理可得$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•（k+1）²＜a_k+1＜（k+1）²+$\frac{1}{k-1}$，即可得證．

解答 解：（1）對(duì)?n∈N^*有：a_n（2a_n+1+1）＜n（n+1）（a_n+a_n+1）＜a_n+1（2a_n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁（2a₂+1）＜2（a₁+a₂）＜a₂（2a₁+1），
由a₂=4，可得9a₁＜2（a₁+4）＜4（2a₁+1），
即有$\frac{2}{3}$＜a₁＜$\frac{8}{7}$，可得a₁=1；
同理可得，當(dāng)n=2時(shí)，有8＜a₃＜10，
可得a₃=9；
（2）猜想：a_n=n²（n∈N^*）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可得a₁=1成立；
假設(shè)n=k（k∈N^*），有a_k=k²．
當(dāng)n=k+1時(shí)，由a_k（2a_k+1+1）＜k（k+1）（a_k+a_k+1）＜a_k+1（2a_k+1），
即2k²a_k+1+k²＜k（k+1）（k²+a_k+1）＜a_k+1（2k²+1），
當(dāng)k=1時(shí)，上式顯然成立；
則k＞1時(shí)，可得$\frac{{k}^{2}（k+1）}{{k}^{2}-k+1}$＜a_k+1＜$\frac{k（{k}^{2}+k-1）}{k-1}$，
即有$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•（k+1）²＜a_k+1＜（k+1）²+$\frac{1}{k-1}$，
由0＜$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$＜1，$\frac{1}{k-1}$＞0，
可得a_k+1=（k+1）²，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=（k+1）²也成立．
綜上可得，a_n=n²對(duì)?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用猜想和數(shù)學(xué)歸納法證明，考查化簡(jiǎn)整理和推理能力，屬于中檔題．