Question

12．已知函數(shù)f（x）=x+sinx，且對(duì)于任意的x∈[2，4]，不等式f（$\frac{x+1}{x-1}$）＜f（$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$）恒成立，則m的取值范圍為（45，+∞）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)為增函數(shù)，把要求解的不等式轉(zhuǎn)化為$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$在[2，4]恒成立，分離變量m后再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可求．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x+sinx，
f′（x）=1+cosx≥0恒成立，
即有f（x）為R上的增函數(shù)，
∵對(duì)于任意的x∈[2，4]，不等式f（$\frac{x+1}{x-1}$）＜f（$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$）恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）^{2}（7-x）}$在[2，4]恒成立，
∵x∈[2，4]，
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
則g（x）=-x³+7x²+x-7，
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-$\frac{7}{3}$）²+$\frac{52}{3}$，
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_max=g（4）=45．
綜上知符合條件的m的取值范圍是（45，+∞）．
故答案為：（45，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)值思想方法，屬于中檔題．