Question

16．在△ABC中，
（1）若a，b，c成等比數列，則角B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]；
（2）若a，b，c成等差數列，則角B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 （1）根據題中已知條件求出a，b，c之間的關系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可求出角B的范圍．
（2）由等差數列的性質可知2b=a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b=$\frac{1}{2}$（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據B的范圍及余弦函數在此區(qū)間為減函數即可得到B的范圍．

解答 解：（1）由題意知：a，b，c成等比數列，
∴b²=ac，
又∵a，b，c是三角形的三邊，不妨設a≤b≤c，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
故：B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）由題意可得，2b=a+c，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），且余弦函數在此區(qū)間為減函數，
則B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
故答案為：（0，$\frac{π}{3}$]，（0，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查了等比數列的基本性質與三角函數的綜合應用，考查了學生的計算能力以及對知識的綜合掌握，涉及的知識有：余弦定理，等差數列的性質，基本不等式，以及余弦函數的圖象與性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．