Question

3．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2CD，E、E₁分別是棱AD，AA₁上的點(diǎn)，設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：EE₁∥平面FCC₁．

Answer 1

分析 法一：由EE₁∥A₁D⇒EE₁∥F₁C⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用線線平行來推線面平行．
法二：由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁⇒EE₁∥平面FCC₁．即用利用面面平行來推線面平行．

解答 證明：證法一：取A₁B₁的中點(diǎn)為F₁，
連接FF₁，C₁F₁，
由于FF₁∥BB₁∥CC₁，
所以F₁∈平面FCC₁F₁，
因?yàn)槠矫鍲CC₁F₁即為平面C₁CFF₁，
連接A₁D，F(xiàn)₁C，
由于A₁F₁和D₁C₁和CD平行且相等．
所以　四邊形A₁DCF₁為平行四邊形，
因?yàn)椤�A₁D∥F₁C．
又　EE₁∥A₁D，
得EE₁∥F₁C，
而　EE₁?平面FCC₁F₁，F(xiàn)₁C?平面FCC₁F₁，
故　EE₁∥平面FCC₁F₁．
證法二：因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，AB=2CD，AB∥CD，
所以CD∥AF，
因此　四邊形AFCD為平行四邊形，
所以　AD∥FC．
又　CC₁∥DD₁，F(xiàn)C∩CC₁=C，
FC?平面FCC₁，CC₁?平面FCC₁F₁，
所以　平面ADD₁A₁∥平面FCC₁F₁，
又　EE₁?平面ADD₁A₁，
所以　EE₁∥平面FCC₁．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的推導(dǎo)．在證明線面平行時(shí)，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．