Question

15．下列命題中，正確命題的序號是③．
①函數(shù)f（x）=x³+3x²+3x關于點（1，1）對稱；
②定義在R上的奇函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}+b}}$中一定有f（x+1）＞f（x）；
③函數(shù)$y=sin（\frac{πx}{2}+\frac{π}{3}）$滿足f（x+2）=-f（x）；
④△ABC中，A＞90°，則存在sinB＞cosC．

Answer 1

分析 ①在y=f（x）的圖象上任取點（x₀，y₀），其關于（1，1）的對稱點為（x，y）；證明（x，y）不在y=f（x）的圖象上即可．
②利用奇函數(shù)的定義即可證明錯誤；
③利用誘導公式即可證明正確；
④利用三角形內角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式可得cosAsinC＞cosC（1-sinA）．由已知可得A＞90°可得cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1-sinA＞0，從而證明結論錯誤．

解答 解：①在y=f（x）的圖象上任取點（x₀，y₀），其關于（1，1）的對稱點為（x，y）；
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+{x}_{0}}{2}=1}\\{\frac{y+{y}_{0}}{2}=1}\end{array}\right.$，即x₀=2-x，y₀=2-y；
則2-y=（2-x）³+3（2-x）²+3（2-x），
整理可得，y=x³-9x²+27x-24，
∴y=f（x）的圖象關于（1，1）對稱的曲線方程不為y=f（x），
即函數(shù)f（x）圖象的不關于點（1，1）對稱，故錯誤；
②∵定義在R上的奇函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}+b}}$，
∴f（0）=$\frac{{e}^{0}+a}{{e}^{0}+b}$=$\frac{1+a}{1+b}$=0，解得：a=-1，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+b}$=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+b}$=f（x），解得：$\frac{1-{e}^{x}}{1+b{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+b}$，整理可得：e^x=±1，故錯誤；
③由f（x+2）=sin[$\frac{π（x+2）}{2}+\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{πx}{2}$+π+$\frac{π}{3}$）=-sin（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$）=-f（x），故正確；
④若sinB＞cosC成立，
∴sin（π-A-C）＞cosC，
∴sin（A+C）＞cosC，即sinAcosC+cosAsinC＞cosC，整理可得：cosAsinC＞cosC（1-sinA）．
∵A＞90°，∴cosA＜0，sinC＞0，cosC＞0，1-sinA＞0，
∴cosAsinC＜cosC（1-sinA）．矛盾，故錯誤．
故答案為：③．

點評 本題主要考查了命題的真假判斷與應用，考查了誘導公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，奇函數(shù)的性質及應用，綜合性較強，屬于中檔題．