Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)4S_n=a_n+1與4S_n-1=a_n-1+1（n≥2）作差可知a_n=-$\frac{1}{3}$a_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$、公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知b_n=-n，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵4S_n=a_n+1，
∴4S_n-1=a_n-1+1（n≥2），
兩式相減得：4a_n=a_n-a_n-1，
整理得：a_n=-$\frac{1}{3}$a_n-1，
又∵4a₁=a₁+1，即a₁=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$、公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=-$\frac{1}{9}$；
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=log₃|a_n|=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．