Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)的關(guān)系即可得到．
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，即為k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到極小值也為最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx．
∴f′（x）=1+lnx，
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0；當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由于x＞0，f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，
∴k＜lnx+$\frac{1}{2x}$．
構(gòu)造函數(shù)k（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$．
∴k′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$．
令k′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，k′（x）＜0，當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，k′（x）＞0．
∴函數(shù)k（x）在點x=$\frac{1}{2}$處取得最小值，即k（$\frac{1}{2}$）=1-ln2．
因此所求的k的取值范圍是（-∞，1-ln2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查不等式恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運算能力，屬于中檔題．