Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P為正方形A₁B₁C₁D₁內(nèi)部及邊上的動(dòng)點(diǎn)，且BD⊥平面AA₁P，則直線(xiàn)BP與AD₁所成角θ的取值范圍是（　　）

• A． 0＜θ≤$\frac{π}{3}$
• B． 0＜θ≤$\frac{π}{2}$
• C． 0≤θ≤$\frac{π}{3}$
• D． 0≤θ≤$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)BP與AD₁所成角θ的取值范圍．

解答 解：∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P為正方形A₁B₁C₁D₁內(nèi)部及邊上的動(dòng)點(diǎn)，且BD⊥平面AA₁P，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段A₁C₁上移動(dòng)，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
當(dāng)點(diǎn)P在C₁處時(shí)，直線(xiàn)BP∥AD₁，此時(shí)θ=0；
當(dāng)點(diǎn)P在A₁處時(shí)，A（2，0，0），D₁（0，0，2），B（2，2，0），P（2，0，2），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，2），
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$；
當(dāng)P為A₁C₁中點(diǎn)時(shí)，P（1，1，2），$\overrightarrow{BP}$=（-1，-1，2），
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2+4}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$θ=\frac{π}{6}$．
∴0$≤θ≤\frac{π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．