Question

5．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)．
（1）若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面積；
（2）求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義以及余弦定理，直接求解三角形的面積．
（2）設(shè)P（x，y），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，通過(guò)x的范圍，求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值．

解答 解：（1）a=10，b=8，c=6，焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），|F₁F₂|=12，
根據(jù)橢圓定義，|PF₁|+|PF₂|=2a=20，
由余弦定理得：$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|co{s}^{\;}60°$，
=${（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|co{s}^{\;}60°$
$代入得|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{256}{3}$，
∴$s=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°=\frac{64\sqrt{3}}{3}$
（2）∵橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，
∴F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-6-x，-y）•（6-x，-y）
=x²+y²-36
=x²+64-$\frac{16}{25}{x}^{2}$-36=$\frac{9}{25}{x}^{2}$+28，
∵x∈[-10，10]，∴x²∈[0，100]，
∴28≤$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$≤64，
點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最小值28，
點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$有最大值64．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值和最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．