Question

1．已知直線l⊥x軸，且與拋物線y²=2x相交于A，B兩個不同的點(diǎn)．
（1）求證：命題“如果直線l過點(diǎn)F（3，0），那么$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題和命題的否定，并判斷它們是真命題還是假命題？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算求證即可，
（2）把（1）中題設(shè)和結(jié)論變換位置然后設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量運(yùn)算求證即可．

解答 （1）證明：設(shè)過點(diǎn)T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=3，
此時，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A（3，$\sqrt{6}$）、B（3，-$\sqrt{6}$）．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=9-6=3；
（2）解：由題可知，（1）中命題的逆命題是：“直線l交拋物線y²=2x于A，B兩點(diǎn)，如果$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，那么直線l過點(diǎn)（3，0）”是真命題；
∵直線l⊥x軸，∴設(shè)A（x，$\sqrt{2}$x），B（x，-$\sqrt{2}$x）（x＞0），
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，
∴x²-2x=3，
∴x=3，
∴直線l過點(diǎn)（3，0）．
命題的否定：如果直線l過點(diǎn)F（3，0），那么$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$≠3，是假命題．

點(diǎn)評 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．