Question

18．已知0＜x＜1，0＜y＜1，
求證$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$+$\sqrt{{x^2}+{{（1-y）}^2}}$+$\sqrt{{{（1-x）}^2}+{y^2}}$+$\sqrt{{{（1-x）}^2}+{{（1-y）}^2}}$≥2$\sqrt{2}$，并求使等號成立的條件．

Answer 1

分析 依題意，作圖如下，利用兩點間的距離公式可知|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$，|PB|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，|PC|=$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$，利用三角不等式可證|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2$\sqrt{2}$

解答 證明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：
則|PO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$，|PB|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$，|PC|=$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$，
∵|PO|+|PB|≥|BO|=$\sqrt{2}$，|PA|+|PC|≥|AC|=$\sqrt{2}$
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2 （當且僅當點P為正方形的對角線AC與OB的交點是取等號），
即x=y=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（1-y）^{2}}$+$\sqrt{（1-x）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（1-x）^{2}+（1-y）^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查作圖能力，突出考查兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題．