Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2acosx-2a-1的最大值為$\frac{7}{2}$
（1）求a的值；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$-kcosx≥0在x∈[0，$\frac{π}{3}$]有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=-2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值分類討論可得；
（2）問題可化為k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$，只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值，換元由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=2sin²x+2acosx-2a-1
=2（1-cos²x）+2acosx-2a-1
=-2cos²x+2acosx-2a+1
=-2（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1，
由二次函數(shù)可知：當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2時，
cosx=-1時函數(shù)取最大值-2-2a-2a+1=$\frac{7}{2}$，
解得a=-$\frac{9}{8}$，不滿足a≤-2，應(yīng)舍去；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1即a≥2時，cosx=1時函數(shù)取最大值-2+2a-2a+1=-1≠$\frac{7}{2}$，不合題意；
當(dāng)-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2時，cosx=$\frac{a}{2}$時函數(shù)取最大值$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1=$\frac{7}{2}$，
解得a=-1，或a=5，由-2＜a＜2可得a=-1，符合題意；
綜上可得a=-1；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，
由（1）可得g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$-kcosx≥0可化為k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$，
只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$=-2-$\frac{2}{cosx}$+$\frac{3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值，
令t=$\frac{1}{cosx}$，由$\frac{1}{2}$≤cosx≤1可得1≤t≤2，換元可得y=3t²-2t-2，
由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得當(dāng)t=1時，y取最大值-1，故k≤-1

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及分類討論和分類常數(shù)法以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．