Question

2．如圖所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥EG；
（2）求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到EB、EF、EA兩兩垂直．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{BD}、\overrightarrow{EG}$的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0證明BD⊥EG；
（2）求出平面BFC、DBF的法向量，求得兩向量夾角的余弦值，進(jìn)一步求得二面角D-BF-C的余弦值．

解答 （1）證明：∵平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，
∴AE⊥平面BCFE，∴AE⊥BE，又BE⊥EF，
∴EB、EF、EA兩兩垂直．
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
由已知AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G為BC的中點(diǎn)，得：
A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），G（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{EG}=（2，2，0），\overrightarrow{BD}=（-2，2，2）$．
∵$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BD}=-2×2+2×2+2×0=0$，
∴BD⊥EG；
（2）解：由圖可知，平面BFC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
設(shè)平面DBF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y+2z=0}\\{-2x+3y=0}\end{array}\right.$，取y=2，得x=3，z=1．
∴$\overrightarrow{n}=（3，2，1）$．
向量$\overrightarrow{m}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角的余弦值$cosθ=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$．
∴二面角D-BF-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面和平面垂直的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用空間向量證明線線垂直，利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．