Question

6．（1）設(shè)f（θ）=sinθ+cosθ，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，求f（θ）的值域．
（2）已知不等式$\sqrt{2}（2a+3）cos（θ-\frac{π}{4}）+\frac{6}{sinθ+cosθ}$＜3a+6+4sinθcosθ對(duì)于0≤θ≤$\frac{π}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得f（θ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），由0≤θ≤$\frac{π}{2}$和三角函數(shù)的值域可得；
（2）令sinθ+cosθ=x，換元可化原不等式為x+$\frac{2}{x}$-a＜0對(duì)于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，只需a＞x+$\frac{2}{x}$對(duì)于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，由“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（θ）=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，∴f（θ）的值域?yàn)閇1，$\sqrt{2}$]；
（2）令sinθ+cosθ=x，則cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
平方可得1+2sinθcosθ=x²，解得sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（x²-1），
故原不等式（2a+3）x+$\frac{6}{x}$＜3a+6+2（x²-1），
整理可得2x²-2ax-3x-$\frac{6}{x}$+3a+4＞0，即2x（x+$\frac{2}{x}$-a）-3（x+$\frac{2}{x}$-a）＞0，
即（2x-3）（x+$\frac{2}{x}$-a）＞0對(duì)于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
∵1≤x≤$\sqrt{2}$，∴2x-3＜0，∴不等式等價(jià)于x+$\frac{2}{x}$-a＜0對(duì)于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
只需a＞x+$\frac{2}{x}$對(duì)于1≤x≤$\sqrt{2}$恒成立，
由“對(duì)勾函數(shù)”可知x+$\frac{2}{x}$在1≤x≤$\sqrt{2}$單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)x+$\frac{2}{x}$取最大值3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞3

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及換元法和恒成立問(wèn)題，屬中檔題．