Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）設(shè)b=2-a，求f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，且對(duì)于任意x＞0，f（x）≥f（1），試比較lna與-2b的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=2-a得，f（x）=ax²+（2-a）x-lnx，進(jìn)而$f'（x）=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x}$，對(duì)a進(jìn)行分類討論，結(jié)合討論結(jié)果，可得不同情況下f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）由a＞0，且對(duì)于任意x＞0，f（x）≥f（1），則函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值，進(jìn)而可得$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$=1，令g（x）=2-4x+lnx，利用導(dǎo)數(shù)法確定其最值，可得lna與-2b的大小．

解答 解：（Ⅰ）∵b=2-a，
∴f（x）=ax²+（2-a）x-lnx，
∴$f'（x）=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x}$，
（1）若a≥0，則x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{a}{4}+1+ln2$，
當(dāng)$-\frac{a}{4}+1+ln2$＞0，即0≤a＜4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)$-\frac{a}{4}+1+ln2$=0，即a=4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$-\frac{a}{4}+1+ln2$＜0，即a＞4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）若a＜0，
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，x∈（0，$\frac{1}{2}$）或x∈（$-\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，x∈（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{a}{4}+1+ln2$＞0，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜-2時(shí)，x∈（0，$-\frac{1}{a}$）或x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，x∈（$-\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（$-\frac{1}{a}$）=$-\frac{1}{a}$+1+ln（-a）＞0，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上可得：0≤a＜4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；
a＜0，或a=4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
a＞4（1+ln2）時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅱ） 由a＞0，且對(duì)于任意x＞0，f（x）≥f（1），則函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值，
由$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$得$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$是f（x）的唯一的極小值點(diǎn)，
故$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$=1，整理得 2a+b=1即b=1-2a．
令g（x）=2-4x+lnx，則g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$，令g′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{4}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞$\frac{1}{4}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
因此g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1+ln$\frac{1}{4}$=1-ln4＜0，
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，不等式比較大小，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，難度較大．