Question

5．已知復(fù)數(shù)A=z₁$\overline{{z}_{2}}$+z₂$\overline{{z}_{1}}$，B=z₁$\overline{{z}_{1}}$+z₂$\overline{{z}_{2}}$，其中z₁，z₂是非零復(fù)數(shù)，問(wèn)：A，B可以比較大��？并證明之．

Answer 1

分析 設(shè)z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算求出A，B，由于A、B都是實(shí)數(shù)，所以A、B可以比較大小，利用作差法即可比較大�。�

解答 解：設(shè)z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），
則A=z₁$\overline{{z}_{2}}$+z₂$\overline{{z}_{1}}$=（a+bi）（c-di）+（c+di）（a-bi）=2（acac+bd）∈R，
B=z₁$\overline{{z}_{1}}$+z₂$\overline{{z}_{2}}$=a²+b²+c²+d²∈R，
由于A、B都是實(shí)數(shù)，所以A、B可以比較大�。�
又B-A=a²+b²+c²+d²-2（acac+bd）=（a-c）²+（b-d）²≥0，
于是得到A≤B，當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即z₁=z₂時(shí)，取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的問(wèn)題，以及比較大小，屬于基礎(chǔ)題．