Question

11．已知拋物線C：y²=4x
（1）拋物線C上有一動點P，當(dāng)P到C的準(zhǔn)線與到點Q（7，8）的距離之和最小時，求點P的坐標(biāo)；
（2）是否存在直線l：y=kx+b與C交于A、B兩個不同的點，使OA與OB（O為坐標(biāo)原點）所在直線的傾斜角互補，如果存在，試確定k與b的關(guān)系，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知，只要在拋物線上找P到點Q與到焦點F（1，0）的距離之和最小，由直線段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x的交點即可；
（2）由直線l：y=kx+b與拋物線y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韋達(dá)定理判斷k_OA+k_OB≠0．

解答 解：（1）由拋物線的定義可知，只要在拋物線上找P到點Q與到焦點F（1，0）的距離之和最小，
由直線段最短原理，可知只要求QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x的交點即可．
由QF：y=$\frac{4}{3}$（x-1）與拋物線y²=4x可得4x²-17x+4=0，∴x₁=4或x₂=$\frac{1}{4}$（舍）．
∴P（4，4）．…（4分）   
（2）由直線l：y=kx+b與拋物線y²=4x得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2k+$\frac{b（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}$≠0
故不存在符合條件的直線l．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．