Question

16．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，|$\overrightarrow{BC}$|=3，M、N分別是BC邊上的三等分點(diǎn)，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=6．

Answer 1

分析 設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$．再根據(jù)$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4、|$\overrightarrow{BC}$|=3，
可得（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$）=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OB}}^{2}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${（\frac{3}{2}）}^{2}$=4，
求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$．
則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$）=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OM}$）=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$=$\frac{25}{4}$-${（\frac{1}{2}）}^{2}$=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法的三角形法則，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．