Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，前n項(xiàng)和為S_n，若有兩個(gè)自然數(shù)m、n，使得a_m、15、S_n成等差數(shù)列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差數(shù)列，則m+n=14．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得：a_n，S_n．由于有兩個(gè)自然數(shù)m、n，使得a_m、15、S_n成等差數(shù)列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差數(shù)列，可得a_m+S_n=30，lga_m+1gS_n=2lg9=lg81，即a_m•S_n=81．代入解出即可得出．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$．
前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（1+\frac{n+1}{2}）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{4}$．
∵有兩個(gè)自然數(shù)m、n，使得a_m、15、S_n成等差數(shù)列，lga_m，lg9，1gS_n也成等差數(shù)列，
∴a_m+S_n=30，lga_m+1gS_n=2lg9=lg81，即a_m•S_n=81．
∴$\frac{m+1}{2}+$$\frac{n（n+3）}{4}$=30.$\frac{m+1}{2}$•$\frac{n（n+3）}{4}$=81．
解得m=5，n=9．
則m+n=14．
故答案為：14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．