Question

1．下列幾何體各頂點(diǎn)都在同一球面上，求此球表面積．
（1）直三棱柱，所有棱長(zhǎng)都是a；
（2）所有棱長(zhǎng)都是$\sqrt{2}$的四面體；
（3）直三棱柱，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°．

Answer 1

分析 分別求出球的半徑，再利用球表面積公式，即可求出球表面積．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，則
（1）球心到底面的距離為$\frac{a}{2}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{a}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=$\frac{7}{12}$a²，∴S=4πR²=$\frac{7}{3}$a²；
（2）所有棱長(zhǎng)都是$\sqrt{2}$的四面體，補(bǔ)成正方體的棱長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，∴球的半徑為R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴S=4πR²=3π；
（3）球心到底面的距離為1，△ABC中，BC=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2，∴2r=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，∴r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²+1²=$\frac{7}{3}$，∴S=4πR²=$\frac{28}{3}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求球表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出球的半徑是關(guān)鍵．