Question

10．設(shè)函數(shù)D（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}}$，有下列四個(gè)結(jié)論：
①D（x）的值域?yàn)閧0，1}；②D（x）是偶函數(shù)；③D（x）不是周期函數(shù)；④D（x）不是單調(diào)函數(shù)；其中正確的是①②④（填序號）

Answer 1

分析 由函數(shù)D（x）可得：①D（x）的值域?yàn)閧0，1}，即可判斷出正誤；
②?x∈Q，則-x∈Q，可得D（-x）=D（x）=1；當(dāng)x∈∁_RQ時(shí)同理可得D（-x）=D（x）=0，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；
③?a∈Q，且a≠0，則當(dāng)x∈Q時(shí)，x+a∈Q，可得D（x+a）=D（x）=1；當(dāng)x∈∁_RQ時(shí)，同理可得D（x+a）=D（x）=0，即可判斷出周期性；
④由③可知：D（x）不是單調(diào)函數(shù)，即可判斷出正誤．

解答 解：由函數(shù)D（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}}$，可得：
①D（x）的值域?yàn)閧0，1}，因此①正確；
②?x∈Q，則-x∈Q，∴D（-x）=D（x）=1；當(dāng)x∈∁_RQ時(shí)，-x∈∁_RQ，∴D（-x）=D（x）=0，因此D（x）是偶函數(shù)，因此正確；
③?a∈Q，且a≠0，則當(dāng)x∈Q時(shí)，x+a∈Q，∴D（x+a）=D（x）=1；當(dāng)x∈∁_RQ時(shí)，x+a∈∈∁_RQ，∴D（x+a）=D（x）=0，因此D（x）是周期函數(shù)，任意非0有理數(shù)都是它的周期，因此③不正確．
④由③可知：D（x）不是單調(diào)函數(shù)，正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)D（x）的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．