Question

8．某生產(chǎn)車間為了檢測其加工的零件的質(zhì)量，檢驗(yàn)人員需抽取同批次的零件樣本進(jìn)行檢測指標(biāo)評分．若檢測指標(biāo)評分大于60分的零件為合格零件，指標(biāo)評分不超過40分的零件將直接被淘汰，指標(biāo)評分在（40，60]內(nèi)的零件可能被修復(fù)也可能被淘汰．現(xiàn)質(zhì)檢員小張檢測出200個(gè)合格零件，根據(jù)指標(biāo)評分繪制的頻率分布直方圖如圖所示，
（1）求出頻率分布直方圖中a的值；
（2）估計(jì)這200個(gè)零件指標(biāo)評分的平均數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，可能被修復(fù)的零件個(gè)體被修復(fù)的概率如下表：

零件檢測指標(biāo)評分所在區(qū)間	（40，50]	（50，60]
每個(gè)零件個(gè)體被修復(fù)的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$

假設(shè)每個(gè)零件被修復(fù)與否相互獨(dú)立．現(xiàn)有3個(gè)零件的檢測指標(biāo)評分（單位：分）為：38，45，52，
①求這3個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率；
②記這3個(gè)零件被修復(fù)的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中各小矩形面積之和為1，能求出a．
（2）利用頻率分布直方圖能估計(jì)這200個(gè)零件指標(biāo)評分的平均數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）①這3個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的對立事件是這3個(gè)零件全不被修復(fù)而淘汰，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出這3個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率．
②由已知得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
（0.01+a+0.02+0.03）×10=1，
解得a=0.04．
（2）估計(jì)這200個(gè)零件指標(biāo)評分的平均數(shù)$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82，
由頻率分布直方圖，得前兩個(gè)小矩形的面積之和為0.5，
∴估計(jì)這200個(gè)零件指標(biāo)評分的中位數(shù)為80．
（Ⅱ）①這3個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的對立事件是這3個(gè)零件全不被修復(fù)而淘汰，
∴這3個(gè)零件中，至多有2個(gè)不被修復(fù)而淘汰的概率：
p=1-$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{2}{3}$．
②由已知得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{3}$，
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴EX=$0×\frac{1}{3}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．