Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的圖象與x軸相交，相鄰兩距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上，一個(gè)最低點(diǎn)為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求出函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程；
（4）求f（x）的最值及此時(shí)x的集合；
（5）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（6）若f（α）=1，求角α的值．

Answer 1

分析 由題意可得A=2，由周期可得ω=2，代入點(diǎn)M（$\frac{2π}{3}$，-2）可得φ值，可得
（1）f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）解2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得對(duì)稱中心；解2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得對(duì)稱軸；
（4）f（x）的最大值為2，解2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$可得x的集合，f（x）的最小值為-2，解2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$可得x的集合；
（5）由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得值域；
（6）由題意可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，解方程可得α．

解答 解：由題意可得A=2，周期T=2×$\frac{π}{2}$，故ω=2，
函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
代入點(diǎn)M（$\frac{2π}{3}$，-2）可得2sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-2，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得當(dāng)k=0時(shí)，φ=$\frac{π}{6}$，
（1）f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
（3）由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，∴函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（4）f（x）的最大值為2，此時(shí)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，可得x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}，
f（x）的最小值為-2，此時(shí)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，可得x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
（5）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，∴f（x）的值域?yàn)椋篬-1，2]；
（6）由f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，解得α=kπ或α=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及設(shè)計(jì)師的單調(diào)性和最值以及對(duì)稱性，屬中檔題．