Question

19．已知sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，求下列各式的值：
（1）sinαcosα；（2）sin³α-cos³α；（3）sin⁴α-cos⁴α

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，平方差公式、立方差公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵已知sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，
∴1-2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，∴sinαcosα=$\frac{4}{9}$．
（2）sin³α-cos³α=（sinα-cosα）•（sin²α+cos²α+sinαcosα）=（sinα-cosα）•（1+sinαcosα）=$\frac{1}{3}$（1+$\frac{4}{9}$）=$\frac{13}{27}$．
（3）∵sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，sinαcosα=$\frac{4}{9}$，
∴sinα＞cosα＞0 且sinα=$\frac{1+\sqrt{17}}{6}$，cosα=$\frac{-1+\sqrt{17}}{6}$．
sin⁴α-cos⁴α=（sin²α+cos²α）•（sin²α-cos²α）=sin²α-cos²α=$\frac{{（1+\sqrt{17}）}^{2}}{36}$-$\frac{{（-1+\sqrt{17}）}^{2}}{36}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，平方差公式、立方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．