Question

13．同學(xué)們都有這樣的解題經(jīng)驗(yàn)：在某些數(shù)列的求和中，可把其中一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，使得某些項(xiàng)可以相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)求和．如：已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，則將其通項(xiàng)化為a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，故數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅=5，S₅=15，求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100項(xiàng)和．

Answer 1

分析 通過(guò)a₅=5、S₅=15及等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可知a₁=1，從而公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=1，進(jìn)而裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a₅=5，S₅=15，
∴15=$\frac{5（{a}_{1}+5）}{2}$，即a₁=1，
∴公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{5-1}{5-1}$=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．