Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故我們只要判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
∵函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}$（x∈R且x≠0）
∴$f（-x）=-x-\frac{4}{x}$=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（2）證明，設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），即函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
若2＜x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值f（2）=2+$\frac{4}{2}$=2+2=4，
∵f（1）=1+4=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$＜5，
∴函數(shù)的最大值為5，
故4≤f（x）≤5，
即函數(shù)的值域?yàn)閇4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的方法和步驟是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．