Question

8．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-a．x≥\frac{1}{2}}\\{x+2-a，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的三個零點為x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 令f（x）=0，由題意可得直線y=a和函數(shù)y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+2，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的圖象有三個交點，畫出它們的圖象，求得x₁，x₂，x₃的范圍，結(jié)合函數(shù)式可得x₂x₃=1，即可得到所求范圍．

解答 解：令f（x）=0，可得直線y=a和函數(shù)y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+2，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的圖象有三個交點，
分別作出直線y=a和函數(shù)y=g（x）的圖象，
由圖象可設(shè)0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，1＜x₃＜2，
由a=x₁+2=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$=x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，可得x₂-x₃=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}{x}_{3}}$，
即有x₂x₃=1，則x₁x₂x₃=x₁∈（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的零點的問題的解法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．