Question

13．若函數(shù)f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx-sinωx）（0＜ω＜1）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對稱．
（1）求f（x）在[0，2015π]上的零點個數(shù)；
（2）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x₀∈（0，2π]，求點A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對稱，求得ω的值，可得f（x）的解析式．令f（x）=0，求得x的值，從而求得f（x）在[0，2015π]上的零點．
（2）由題意可得sin（$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$）=0，求得x₀的值，可得點A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx-sinωx）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1-cos2ωx}{2}$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$ （0＜ω＜1）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對稱，
∴$\frac{2π}{3}$•ω+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{3}{2}$k+$\frac{1}{2}$，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{2}$，
f（x）=sin（$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
令f（x）=0，求得sin（$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或$\frac{1}{2}$•x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即x=4kπ，或x=4kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z．．
再根據(jù)x∈[0，2015π]，可得k=0，4π，8π，…，4•503π；
或x=$\frac{4π}{3}$，4π+$\frac{4π}{3}$，8π+$\frac{4π}{3}$，…，4•503+$\frac{4π}{3}$，共計504+504=1008個．
（2）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x₀∈（0，2π]，
則 sin（$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{1}{2}$•x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，即 x₀=2kπ-$\frac{π}{3}$，故x₀=$\frac{5π}{3}$，
故點A的坐標(biāo)為（$\frac{5π}{3}$，1）．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．