Question

7．（1）已知：a是整數(shù)，2能整除a²，求證：2能整除a；
（2）已知a＞0，b＞0，求證：$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 （1）利用反證法進行證明；
（2）利用分析法證明即可．

解答 （1）證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2不能整除a”．（2分）
因為a是整數(shù)，故a是奇數(shù)，a可以表示為2m+1（m為整數(shù)），則a²=（2m+1）²=4m²+4m+1=2（2m²+2m）+1（6分）
即a²是奇數(shù)．
所以，2不能整除a²．這與已知“2能整除a²”相矛盾．
于是，“2不能整除a”這個假設(shè)錯誤，故2能整除a．（9分）
（2）證明：為證明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}（a＞0，b＞0）$成立，
只需證$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{4}≥ab$，即a²+b²+2ab≥4ab，（13分）
即a²+b²≥2ab，此式顯然成立．（16分）
這樣，就證明了$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$．（18分）

點評 本題考查反證法、分析法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．