Question

19．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的最小值為-2，周期為$\frac{2π}{3}$，且它的圖象經(jīng)過點（0，-$\sqrt{2}$），求此函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析 由函數(shù)的周期求得ω 的值，由函數(shù)的最值求得A，根據(jù)圖象過定點出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．

解答 解：∵函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=3…（3分）
又∵函數(shù)的最小值為-2，
∴A=2…（5分）
∴函數(shù)解析式可寫為y=2sin（3x+φ）．
又∵函數(shù)圖象過點（ 0，-$\sqrt{2}$），
∴有：2sinφ=-$\sqrt{2}$，sinφ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得φ=2kπ$+\frac{3π}{4}$，k∈Z…（9分）
∵0＜φ＜2π，∴φ=$\frac{3π}{4}$，…（13分）
∴函數(shù)解析式為：y=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）．…（15分）

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，根據(jù)圖象過定點出φ的值，屬于中檔題．